『プリンキピア・マテマティカ』を読む (0.15) ドットの用法 [『プリンキピア・マテマティカ』を読む]

前回の末尾で予告したように、今回は『プリンキピア・マテマティカ』を読むうえで大きな障壁と成りうるドット(.、:など)の用法を扱う。

『プリンキピア』において、ドットはおもに、以下のように用いられる。

1. ⊃、≡、∨、および=Df.などの論理オペレータ（あるいは、ここでの言葉づかいで言えば、命題函数）の適用範囲（スコープ）を示すものとして。
2. (x)、(x,y)、(∃x)、(∃x,y)、そして[(ιx)(φx)]などの量化記号の適用範囲を示すものとして（なお、このカテゴリのそれとして現れるドットの用法は、この稿では扱わない）。
3. 論理積（現代風の記号で表すと∧）と、その適用範囲を示すものとして。

これらの「とりまとめ力」は1がいちばんつよく、3がいちばんよわい、と言われる。そして、じっさいのグルーピングは、以下のルールに則って行なわれる。

• ドットは、その前後いずれか（あるいは両方）にスコープをひろげ、それ自身よりも数のおおいドットか、ドットの数自体はそれ自身のものと同数だが「とりまとめ力」において自身と同等以上のものに出会うところでスコープの伸張を止める。

これだけでは漠としているであろうので、以下では例を出しながら、ドット記法で書かれた論理式を（現代風の？）カッコ記法で書かれた論理式に変換しつつ、理解を深める。

• p∨q.⊃.q∨p

まず、上式において、いちばんおおくのドットをともなう論理オペレータが、この論理式におけるメインオペレータとなる。すると、上式では⊃がメインオペレータとなる。さて、上の区分けで言う1に属する論理オペレータに関して、その左横にあるドットは左方向に、右横にあるドットは右方向にスコープを伸ばす。ゆえに、上式は以下のように書き直せる。

• (p∨q)⊃(q∨p)

また、この式（の元のかたち）を「主張」（前回を参照）する場合、全体をカッコに括る、つまり、当該式に現れるドットより数のひとつおおいドットを主張記号@のあとにおく。つまり、

• @:p∨q.⊃.q∨p。

つぎに、以下を考える。

• p:∨:q.⊃.q∨p

この式におけるメインオペレータは、ドットふたつ(:)に囲まれている∨である。そして、上記カテゴリ1に属すオペレータのドットは、左のものは左に、右のものは右にそのスコープを伸ばすのであり、また、∨の右横のドットは、⊃につくドットよりグルーピング力がつよいのだから、けっきょくこの式はつぎのように書き直せる。

• (p)∨((q)⊃(q∨p))

アトムを囲むカッコを省略すると

• p∨(q⊃(q∨p))。

また、第1例と同様に、この（元の）式を主張すると、この式におけるドット数は2なのだから、主張記号のあとにドットをみっつおいて、

• @:.p:∨:q.⊃.q∨p

となる。

上での例と同様な、ドットを用いた式と、それをカッコを用いて書き直した式を、2組挙げておく（アトムを囲むカッコは省略する）。

• p∨q.⊃.q:∨:p
• ((p∨q)⊃q)∨p

• p⊃q.⊃:q⊃r.⊃.p⊃r
• (p⊃q)⊃((q⊃r)⊃(p⊃r))

つぎに、論理積としてのドットを用いた例を挙げる。

• p⊃q.q⊃r

上の例においても、上記第1カテゴリの例と同様に、論理積を表すドットの両方向に、そのスコープを拡げる。つまり、

• (p⊃q).(q⊃r)

である（つまり、ドットをともなった論理積としてのドットは、愚直に書くと...となるが、これは冗長すぎるので、論理積を表すドットにつくドットは省略される、とも考えられる）。

以下に、論理積としてのドットが入った例を、カッコを用いて書き直したものとあわせて、2例挙げる。

• p⊃q.q⊃r.⊃.p⊃r
• ((p⊃q).(q⊃r))⊃(p⊃r)

• p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
• (p⊃q).((q⊃r)⊃(p⊃r))

最後に、練習問題として以下を挙げておく。各自、カッコを用いた（現代風の）記法で書き直されたい。

• p∨q.⊃:.p.∨.q⊃r:⊃.p∨r