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しかも、decidability の判定法とかすっかり忘れてるんで、この期に及んでカットランド読んだりしてるとか、もうやばすぎ。

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やればやるほど、色んなことが抜けてしまってるのが痛感されます。

昨日リチャード・ザックによる不完全性定理ゼミの第1回目があったのですが、初回にもかかわらず、いきなり宿題が出やがりました。で、宿題は以下のもの。

ブーロスの『無矛盾性の証明不可能性』を読んでいたら、「『論理、論理、また論理』に第二不完全定理のすっきりした証明(のようなもの)が載ってたよなあ」とふと思い出したので、それを参考にしつつ、逃避がてら「ある形式系が無矛盾であれば、その形式系は自らが無矛盾であることを証明できない」ということを主張するゲーデルの第二不完全性定理の(不完全な)証明(のようなもの)を書き下ろす。ろくすっぽ文献に当たらず、ほんとのほんとに「書き下ろし」であるので、そういうものとして読んでほしい。

一階論理に関する完全性定理について、スコーレム1922年の論文「公理化された集合論に関するいくつかの指摘」が、その証明の一歩手前まで議論を進めていたのは、有名な話である。そして、じっさいに完全性定理の証明を遂行したゲーデルじしんが、その1922年のスコーレム論文を参考にしていたかどうかについて議論があったのも、有名な話である。しかし、ゲーデルが後年、スコーレムが完全性定理の証明に迫りつつも惜しいところで届かなかったのは(そして、ゲーデルはその証明を成し遂げられたのは)、ひとえにその数学観、つまり、数学についての哲学的態度による、と語っていたことは、あまり有名ではない。

先日オンライン読書会のほうにアップしたゲーデル著作集の目次ですが、ちょこちょこコメンタリをつけたり、みじかめのものついては訳をつけたりしはじめちゃいました。

またばかなことを……と自分でも思うことしきり、ですが、それなりに役立つこともあるかな、とも思うので、ぼちぼちやってきます。

ゲーデル著作集の第1巻から第3巻に収められているゲーデルの書きものを一覧にしてみました

Pukiwikiでは、セルの大きさがパーセンテイジで指定できず、かといってピクセル指定するのもイヤなので、ゆえに、見た目が不揃いでちょっとかっこわるいですが、とりあえずの用はなす、と思います。

いずれ、これと同じような感じで検索可能なものにしたい、と思っております。

昨日その証明の前半部だけを公開した、ゲーデルの神の存在証明における実在的性質と神の存在可能性の同値性のフォーマルな証明がいちおう完成したので、需要があるんだかないんだかよく分かりませんが、毒食わば皿までってことでこの完成版も公開します(PDF)。

以前ゲーデルの神の存在証明を紹介したおりには端折ってしまった「実在的性質の閉包原理(実在的性質が集まって構成される性質はまた実在的である)と神の存在可能性はじつは同値であることの証明」に手をつけはじめました(PDFPDF。完全ヴァージョンに切り替えました。ゆえに、以下の記述はいまとなっては筋の通らないものになってしまっていますが、その点ご諒承ください)。

上のPDFファイルでは前半部(「実在的性質の閉包原理 → 神の存在可能性」)を証明しただけなので、これから後半部(「神の存在可能性 → 実在的性質の閉包原理」)の証明に突入します。

ちなみに、証明を読むためには、じゃっかんのロジックの知識(高階述語論理、様相論理、およびツリーメソッドによる証明法)が必要とされますが、かなりていねいに(じっさいには自分でもうんざりしてくるぐらいにくどく)書いたつもりなので、それほど読解はむずかしくはないと思います。上記の事柄に関する知識が足りない場合は、たとえば戸田山本などを参照してください。

なお、意見・質問・誤りの指摘等があれば、お気軽にどうぞ。というか、誤りの指摘に関しては、ぜひともよろしくおねがいします。

忙しい人のために。

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