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昨日の「多様性」エントリからの連想で、今日はアローの不可能性定理についてちょっと書いてみよう。とはいっても、それの導出過程だとか、テクニカルに関する事柄は触れないこととし、さらにはその帰結からもたらされる様々なインプリケーションについても口を噤んでおこうと思う。それでは、アローの不可能性定理について、何を語ろうとするのか?

ここでは、それが前提とするものについて、つまりは、民主的決定の前提(公理)について、語る、というよりも、それらを列挙し、議論の叩き台としたい。

アローがフォーマライズした民主的決定に関する公理を列挙するに先立って、そもそも「アローの一般不可能性定理」とは何かを簡単に言っておくと、それは、民主的な決定ルールをもつ社会は必然的に「独裁者」の存在を導出してしまう、という定理だ。つまり、「民主的決定」の存在の不可能性、さらに言えば「民主主義社会」の不可能性を証明してしまった、と言える。

それでは、アローはどのように「民主的決定」というものを特徴付けたのか?

まず彼は「民主的決定」の基本条件として「弱順序仮説」というものを仮定する。つまり、「民主的決定」は以下の3つ性質を満たす関係で定義される(ここで、たとえばx y は「y は少なくともx と同程度に良い」と解釈され、この関係は「選好順序」と呼ばれる)。

  1. 完備性
    選択肢の集合から2つの選択肢を任意に選んだ場合、x yy x の少なくともどちらか一方が成り立つ(つまり、どんな選択肢間でも比較できることを要請する)。
  2. 反射性
    すべての選択肢x についてx x が成り立つ(つまり、「ある選択肢は少なくとも自分自身と同程度に良い」という、自明なことを要請する)。
  3. 推移性
    選択肢の集合から3つの選択肢を任意に選んだ場合、x yy z が成り立つとすればx z が成り立つ(この推移性の要請によって選択肢の選好順序がループすることが禁じられる)。

さて、その上で、アローが「民主的決定」を特徴付けるものとして要請した規準は、以下の4つ。

  1. 公理U(広範性)
    各個人がどんな選択肢をどんな順序で選好しようと自由である、ということを保証する。
  2. 公理P(パレート原理)
    「市民の主権性」とも呼ばれる公理で、社会の構成員すべてが、ある選択肢に関して選好順序が一致したとき、社会的決定はそれに従わねばならない、ということを要請する。
  3. 公理I(無関連対象からの独立性)
    これは字義通りに解釈すると、「ある選択肢間の選好順序は、それとは異なる別の選択肢間の選好順序に影響を与えない」というものだが、若干分かりにくい。佐伯胖は「分析的認識を保証するもの」とこの公理を特徴付けている。
  4. 公理ND(非独裁性)
    これは、その名の通り、独裁者の存在を否定するもの。

……というところで、ちょっと中断。あとでまた書き足したり何だりします。




参考図書

アマルティア・セン 経済学と倫理学(鈴村興太郎・後藤玲子、実教出版)
「きめ方」の論理 社会的決定理論への招待(佐伯胖、東京大学出版会)



「アローの一般不可能性定理」シリーズ一覧
アローの一般不可能性定理
弱順序仮説の問題
弱順序仮説の問題2
考えるだけならオッケーか?
考えるだけならオッケーか? Interlude
みんながいいと言えばいいのか?

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そういえば、ゲーデルが米国市民権をとるための面接で、米国憲法から独裁者を生み出す「論理」を展開しはじめ、横にいたアインシュタインがあわててとりなしたという話を聞いたことがあります。どんな論法だったのでしょうか。今となっては誰も分からないでしょうが、もしかして本文の論法と同じようなものなのかも知れません。もっともゲーデルは「米国憲法は無矛盾でないので困る」とも言ってたそうですので、なんでもありなのかも知れません。
かがみ URL 2009/02/02(Mon)11:23:11 編集
ゲーデルのこの米国市民権取得時の話、ぼくけっこう好きなんですよねえ。ぼくの記憶ではたしか、ゲーデルがモルゲンシュテルンに「米国憲法は矛盾している」というようなことを言い、「こりゃまずい」と思ったモルゲンシュテルンがアインシュタインといっしょに面接について行った、という筋書きだったと覚えています。それで、よりにもよって面接官に「アメリカ(憲法)は独裁者の存在を許容しますか?」みたいなことを聞かれて、止せばいいのに真正面から持論を滔々と述べはじめちゃったわけです。

で、いまのいままで、かがみさんに指摘されるまで、米国市民権取得時のゲーデルのこの逸話と、アローの不可能性定理をつなげて考えたことはありませんでしたが、言われてみればたしかに、ゲーデルがどういう論法で「アメリカにおける独裁者の存在」を証立てたのか、気になりますね。まあ、これもかがみさんの言うとおり、憲法が矛盾していればそこからは何でも出てくるわけですから、独裁者の存在を許容するのも当然なわけですが。
はやし 2009/02/02(Mon)19:14:31 編集
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