アローの一般不可能性定理 [雑]

昨日の「多様性」エントリからの連想で、今日はアローの不可能性定理についてちょっと書いてみよう。とはいっても、それの導出過程だとか、テクニカルに関する事柄は触れないこととし、さらにはその帰結からもたらされる様々なインプリケーションについても口を噤んでおこうと思う。それでは、アローの不可能性定理について、何を語ろうとするのか？

ここでは、それが前提とするものについて、つまりは、民主的決定の前提（公理）について、語る、というよりも、それらを列挙し、議論の叩き台としたい。

アローがフォーマライズした民主的決定に関する公理を列挙するに先立って、そもそも「アローの一般不可能性定理」とは何かを簡単に言っておくと、それは、民主的な決定ルールをもつ社会は必然的に「独裁者」の存在を導出してしまう、という定理だ。つまり、「民主的決定」の存在の不可能性、さらに言えば「民主主義社会」の不可能性を証明してしまった、と言える。

それでは、アローはどのように「民主的決定」というものを特徴付けたのか？

まず彼は「民主的決定」の基本条件として「弱順序仮説」というものを仮定する。つまり、「民主的決定」は以下の3つ性質を満たす関係≦で定義される（ここで、たとえばx ≦y は「y は少なくともx と同程度に良い」と解釈され、この関係は「選好順序」と呼ばれる）。

1. 完備性
   選択肢の集合から2つの選択肢を任意に選んだ場合、x ≦y かy ≦x の少なくともどちらか一方が成り立つ（つまり、どんな選択肢間でも比較できることを要請する）。
2. 反射性
   すべての選択肢x についてx ≦x が成り立つ（つまり、「ある選択肢は少なくとも自分自身と同程度に良い」という、自明なことを要請する）。
3. 推移性
   選択肢の集合から3つの選択肢を任意に選んだ場合、x ≦y とy ≦z が成り立つとすればx ≦z が成り立つ（この推移性の要請によって選択肢の選好順序がループすることが禁じられる）。

さて、その上で、アローが「民主的決定」を特徴付けるものとして要請した規準は、以下の4つ。

1. 公理U（広範性）
   各個人がどんな選択肢をどんな順序で選好しようと自由である、ということを保証する。
2. 公理P（パレート原理）
   「市民の主権性」とも呼ばれる公理で、社会の構成員すべてが、ある選択肢に関して選好順序が一致したとき、社会的決定はそれに従わねばならない、ということを要請する。
3. 公理I（無関連対象からの独立性）
   これは字義通りに解釈すると、「ある選択肢間の選好順序は、それとは異なる別の選択肢間の選好順序に影響を与えない」というものだが、若干分かりにくい。佐伯胖は「分析的認識を保証するもの」とこの公理を特徴付けている。
4. 公理ND（非独裁性）
   これは、その名の通り、独裁者の存在を否定するもの。

……というところで、ちょっと中断。あとでまた書き足したり何だりします。




参考図書

アマルティア・セン　経済学と倫理学（鈴村興太郎・後藤玲子、実教出版）
「きめ方」の論理　社会的決定理論への招待（佐伯胖、東京大学出版会）

「アローの一般不可能性定理」シリーズ一覧
アローの一般不可能性定理
弱順序仮説の問題
弱順序仮説の問題2
考えるだけならオッケーか？
考えるだけならオッケーか？ Interlude
みんながいいと言えばいいのか？