『プリンキピア・マテマティカ』を読む (0.19) 「すべて」「ある」 [『プリンキピア・マテマティカ』を読む]

前回からやや間が空いてしまったが、今回は、（アリストテレス的伝統を引くそれと区別されるところの）現代的論理学の肝のひとつである「すべての」「ある」という、命題函数の引数の取りうる値を限定する量化子について説明する。

前回では、『プリンキピア』全編を通じて重要な役割を演じる命題函数、つまり「xはyである」というような、そこに登場するxやらyやらの変数の取る値によって、真であったり偽であったりする「擬命題」について説明した。そして、「すべての」「ある」などの「量化子」と呼ばれるものは、うえで示唆したように、これら命題函数に登場するxやらyやらの変数の取りうる値を限定するものである。ラッセル＝ホワイトヘッドは、このような命題函数に出てくる変数の取りうる値、もしくは、そうした変数がそれが登場する命題函数を真にする仕方には、つぎのみっつがあると言う。

1. 変数が取る値が何であれ、あるいは同じことだが、すべての変数の取りうる値で、その変数が登場する命題函数は真になる
2. 変数が取りうる値のうちのあるものに関して、その変数が登場する命題函数は真になる
3. 変数がどういう値を取ろうが、その変数が登場する命題函数は真にならない。別様に言えば、変数の取りうるすべての値で、その変数が登場する命題函数は偽になる

そして、これらの最初のふたつは、以下のように形式化される。

1. (x).Φx
2. (∃x).Φx

前者は、「つねにΦx」、あるいは「Φxはつねに真である」と読まれ、後者は、「Φxが真であるようなxが存在する」、あるいは「Φx（このxのうえには、ほんとうはキャレット^が乗る）を満たす satisfy ようなxが存在する」と読まれる。

さて、それでは、うえに言ったみっつめ、つまり、ある命題函数に登場する変数がいかなる値を取ろうが、その命題函数は真にならない、あるいは、つねに偽であることは、どのように表せばいいのだろう？　まず、いま言った後者の言い方、つまり「ある命題函数に登場する変数がいかなる値を取ろうが、その命題函数はつねに偽である」を考えれば、つぎの表し方ができることが分かる。

• (x).~Φx

また、「ある命題函数に登場する変数がいかなる値を取ろうが、その命題函数は真にならない」ということは、「その命題函数を真にするような変数の値が存在するということはない」とも翻訳できるので、けっきょくつぎのようにも表せる。

• ~(∃x).Φx

つまり、うえのふたつの表現は、同じひとつの事態を表している。より形式的には、

• (x).~Φx.≡.~(∃x).Φx

ということである。

さて、ここで、うえの式のΦxに~Φxを代入してみよう。すると、

• (x).~(~Φx).≡.~(∃x).~Φx

ところで、~(~Φx)は、「基本命題をいくつか」でふれられたように、Φxである。つまり、

• (x).Φx.≡.~(∃x).~Φx

ということで、「すべての」を表す量化は、「ある」で定義（表現）できる。ぎゃくに、「あるxでΦx（は真である）」ということは、「すべてのxでΦxが偽となるということはない」ということなので、

• (∃x).Φx.≡.~(x).~Φx

と表現でき、けっきょく、「すべての」「ある」は、どちらかひとつあれば用が足りる、ということが分かる。

次回も引きつづき、この「すべての」「ある」という限定辞の説明をつづける。