『プリンキピア・マテマティカ』を読む (0.18) 命題函数 [『プリンキピア・マテマティカ』を読む]

今回は、前回末尾で「『プリンキピア』全体をとおして重要な役割を演じる」と言われた「命題函数」について見る。

さて、如上のように、命題函数は「『プリンキピア』全体をとおして重要な役割を演じる」わけだが、じっさいには、「重要な役割を演じる」どころか、「それがなければはじまらない」という「必要不可欠」とでも言うべきものである。では、そのように「必要不可欠」な「命題函数」とは何か？　まずは、ごく基本的なこと、「函数とは何か？」ということから見ていく。

函数とは、ざつに言ってしまえば、ある「数」を受けとって、またある「数」を出力するもの、である。

ここで、「数」とカッコで括った理由は、それらはかならずしもいっぱんに言う「数」、つまりは1, 2, 3, ... などにかぎられず、それこそ「犬」「猫」など、「名詞」と呼ばれるうるものであれば、何でも函数の入出力になりうる資格があるから、である。また、ふつうには「関数」と書かれるものを「函数」と書く理由について一言しておけば、1) たんなる個人の趣味、2) こちらのほうが本来的には正統、ということである。ちなみに、「函数」を「凾数」と書く流儀もあり、これだと「何かが入って、何かが出る」という函数の力動相が、「凾」の字に含まれる「口」と「又」によって含意されてよろしい、とのことである。

たとえば、「xは犬である」というのは、xに「何か」を受けとって（ここでは、「ジョン」とでもしておこう）、「ジョンは犬である」という命題を出力する。

「命題とは何か？」を主題的に書いた覚えがないので、いちおう一言しておくと、命題とは、これまたざつに言って、何かある「考え」が表出された「文」であり、こと『プリンキピア・マテマティカ』の体系に話をかぎれば、そうした「文＝命題」は、真偽が決定できる、つまり、その言われた「考え」について、「ただしい」だの「まちがっている」だのという「判断」が下せることが要求される。

さて、うえであたかも「xは犬である」というものが命題函数そのものであるような書き方をしてしまったが、じつは、これではふじゅうぶんな説明である。というのも、たとえば「xは犬である」という表現と「yは犬である」という表現があるとする。さて、これらふたつはおなじ表現だろうか？　それとも、ちがう表現だろうか？　正解は、「何とも言えない」というもので、何となれば、これらふたつは命題函数そのものと言うより、「曖昧な命題」を表現するものだからである。

それでは、うえで言われた「曖昧な命題」を命題函数にするには、どうすればいいか？　『プリンキピア・マテマティカ』では、「曖昧な命題」にあらわれたxだのyという変数に（変数についてはこちらを参照）^（キャレット）をかぶせ、そうしたキャレット付き変数を用いて「ŷは犬である」などとしたもの、これが命題変数である。つまり、キャレットはそれが付されている変数がたんなるプレイスホルダとしての役割しか果たさないことを明示するものであり、ゆえに、「ŷは犬である」と「ẑは犬である」はおなじ命題函数として捉えられる。

ここで、函数を形式的にf: x → f(x)などとし、f(x)はあくまで（曖昧な）函数値で、函数そのものはfである、とする流儀の起源が見られる。また、変数表現を用いた「曖昧な命題」から、キャレットを用いて命題函数を生成するさまは、ラムダ計算を思いおこさせる。

次回は、こうした命題函数の「受けとるもの」の範囲を限定する「すべての」「ある」などの表現がどうあらわされるかを見る。また、そこではあわせて、「ドットの用法」においてふれられなかった「(x)、(x,y)、(∃x)、(∃x,y)、そして[(ιx)(φx)]などの量化記号の適用範囲」のドットによる示し方も説明される。