『プリンキピア・マテマティカ』を読む (0.16) 定義と公理 [『プリンキピア・マテマティカ』を読む]

前回では、『プリンキピア』読解のうえで（そのべらぼうな長大さを度外視すれば）「最大の障壁」と言っても過言ではないドット（ピリオド"."やコロン":"やそれらの合わせ技）の用法を解説した。今回は、そうした「関門」を超えての一休み、と言ったところで、べつだん専一にロジックや数学を学んでいない人にもそれなりにしたしいと思われる「定義」と「公理」という概念を説明する。

まず、定義とは、あらっぽく言って、何かあるもの／こと（以降、「もの」という表現には「こと」という意味合いも含まれている、つまり、「もの」を「もの／こと」の短縮表現と定義する）を、すでに知られているもので言いかえること、である。そして、この定義は、『プリンキピア』においては（定義されるもの）=（定義するもの）Df.というかたちで表される。具体的には、つぎのようである。

• p⊃q.=.~p∨q Df.

上の例では、p⊃qが「定義されるもの」（以後「被定義項」と呼ぶ）、~p∨qが「定義するもの」（以後「定義項」と呼ぶ）であり、つまり、~p∨qという表記のかわりにp⊃qという表記も使うよ、ということである。

こうした定義は、おおくの場合、表記／表現の煩雑さを避けるため、ある表記／表現の「縮約形」、あるいは「簡明形」として導入される（定義が、ある表記／表現の「簡明さ」を保つ、あるいは補強するためになされる場合、被定義項のほうが表記／表現としては「煩雑」になりうることもある）。ゆえに、理屈のうえではこうした定義（言いかえ）をまったくなしに話を進めることもできる。

ただ、そうした「利便性」以外にも、「定義」というものには重要なポイントがある、とR&Wは言う。ひとつは、ある理論における定義のリストを眺めれば、その理論において何が重要視されているかがある程度分かる、というものである。つまり、上のp⊃q.=.~p∨q Df.という例で言えば、表面的に理論の構成上、⊃を導入せずに押し切ることもできるわけだが、（数学における）「〜であれば…である」というものの表現になっている⊃を導入することによって、「演繹系」という理論の側面がぐっと押し出されることになる。また、ふたつには、被定義項も（直感的には）すでに知られている場合、そうした被定義項についての分析が定義項により行なわれ、結果、そうした分析により理論が進展することがある、ということが挙げられる。

このように、『プリンキピア』においては、~および∨を原始オペレータとした場合、.、そして≡も以下のように定義される。

• p.q.=.~(~p∨~q) Df.
• p≡q.=.p⊃q.q⊃p Df.（⊃はすでに定義済み、とする。⊃が未定義の場合、左の定義はp≡q.=.~p∨q.~q∨p Df.となる）

つぎに、「公理」の説明にうつる。「公理」とは、これまたあらっぽく言って、とくだんの議論を必要とせず、いっぱんに「ただしい」あるいは「妥当である」と認められるような、そういう命題のことを言う（もちろん、これは、何かある命題を「公理」としたからと言って、その命題の「絶対的ただしさ」を主張している、ということではない。あくまで、そうした公理群は「仮定」されるものであり、諸公理の吟味・再吟味というのは、つねになされる可能性がある）。言いかえれば、ある理論を構築する上での出発点、それが「公理」である。たとえば、『プリンキピア』においてはつぎのような公理がおかれる。

• 真な前提から導かれる(imply)されるものは、また真である。
• @:p∨p.⊃.p（つまり、もしpかpが真なら、pは真である）
• @:q.⊃.p∨q（つまり、もしqが真なら、pかqは真である）
• @:p∨q.⊃.q∨p（つまり、もしpかqが真なら、qかpが真である）
• @:p∨(q∨r).⊃.q∨(p∨r)（つまり、もしpが真であるかqかrが真であるなら、qが真であるかpかrが真である）
• @:.q⊃r.⊃:p∨q.⊃.p∨r（「つまり」の部分は演習問題とする）

上記に加え、「実変数同一の公理」と呼ばれるものが『プリンキピア』の基底をなすことになるが、これは、命題函数および未決定主張についての説明がなされたあと、また取りあげることにする。

次回では、いままで説明されたことがらを用いて、矛盾法則や二重否定の法則など、われわれにすでにしたしい概念がどう定式化されるかをかんたんに見る。