はやしのブログ Forcing for Dummies

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posted at 2024/04/25 19:30 by はやし

以前、集合論における重要概念／技法である「強制法」を「バカ dummies」にも分かるように解説したい！という無茶なことを目論んでいたわけですが、Fu aka tri_iroさんのところにひじょうにすばらしい強制法の解説がすでにあることを発見しました。

Fuさんの解説は、集合論にあまり馴染んでいない人や、さらにはそれなりに馴染んでいても素通りしてしまいそうな箇所を直感的な言葉でパラフレージングしつつ、しかもテクニカリティもないがしろにしないというバランスのとれたもので、これはもう、ぼくなぞの出る幕はありません。もちろん、Fuさんとてすべての側面をことごとく解説しているわけではなく（そんなことをしはじめたら、もう本を1冊書くしかない）、読者のがわにじゃっかんの前提知識が要求されるところもありますが、それとても「それぐらい自分で勉強しなよ！」ということだったりするので、きわめて「自己完結的」というに近いものになっていると思います。

というわけで、べらぼうにおすすめです。ぜひ。

posted at 2008/11/23 13:20 by はやし Trackback() Comment(7)

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あかーーん、「モデル理論」の最終部分でこけました。ＡＨＯ丸出しで恐縮です。Fu aka tri_iroさん、はやしさん。　
集合論、ちょっとかじっただけで、放置しているので当然の帰結といえばそれまでなのですが。それより、「理系じゃなくて」「文系の」はやしさんのブログの読者の皆さん、最後までたどりつけましたでしょうか。是非とも知りたいです。自分のＡＨＯさ加減を知る上で。（勿論、藤崎さんのような方は、ご出身が文系でも「理系」に分類されますので悪しからず。）

ぷっつん大吉 2008/11/23(Sun)18:24:43 編集

Fu さんの強制法に関する論説は、本質的な部分をきちんと網羅し、さらに直感的に分かりやすい非常に優れたものです。なんて私が言及すること自体失礼なのではと思っています。もちろんきちんと連続体仮説の否定の整合性を勉強しようと思うと、存外テクニカルな要素も多く、それに関しては専門書を読むしかないのですが、とにかく本質をついた論説は感動的とさえ言えるものであると思います。あ、ほんと私がああだこうだと言うこと自体が失礼。ご容赦の程を。強制法に関しては『モデル理論」に関連するの部分もそれなり障壁でああでしょうが、テクニカルは要素としてはフィルターの概念を直感的に把握するのが少々大変かも知れません。Kunenの本に描いてありましたが、強制法の理解については、ジェネリックの存在等に関する、モデル理論的な側面と、フィルター等に関する純粋に数学的ではあるが、若干テクニカルな側面双方が難関だそうです。余計なこと書いてまことに失礼いたしました。

かがみ URL 2008/11/23(Sun)23:37:57 編集

はやしさん、こんばんは。
わ、絶賛してくださってありがとうございます。ただ、今見ると、ところどころ怪しい記述もありまして、集合論の専門家から見たら突っ込みどころ満載かもしれません。
ところで、最近僕はZFCには全く触れていなくて、強制法を使うにしても遥かに弱い理論での利用が主なのですが、それで思ったことは、強制法の入門としては弱い理論の強制法からの解説した方が初学者には理解しやすいかなあと。再帰理論や算術の強制法なら超簡単なのですが、一応、強制法の本質的なポイントはそれなりに含んでいるので、とても入門者向けな感じがします。
ただ、最大の問題点は、弱い理論における強制法について纏まった文献が専門的な論文くらいしか無いことなんですよね。
あ、それと、集合論の専門家の方から「算術的強制法なんてただの generic structure じゃん」と言われたので、もしかしたら算術的強制法は強制法と言うには程遠いものなのかも。それでも、集合論の強制法を勉強するための橋渡し的なものとしては良さげなので、何か弱い強制法の纏まった文献があればいいなあと思っています。

Fu URL 2008/11/24(Mon)04:51:20 編集

あえて恥をさらすようなことを書いてみたというのには訳がありまして、純粋に他の文系の人がどれだけ理解できたかということを知りたかったというのは勿論なのですが、それ以外に、べとの文系ってのは、いかに「確かに、これは、ひどい」かということを皆さんに知って頂くためってのもありました。
僕が、ゲーデルや連続体仮説を知ったきっかけは、大学時代に接した１９８０年代前半のあのニューアカブームでして、当時既に理系の人からは「ニューアカの連中の「解釈」は酷い」との話は聞いておりました。
ゲーデルや連続体仮説の存在を２５年前に知りながらどうして２５年も勉強していなかったのかと思われることでしょうが、ひとつは怠惰、そしてもうひとつは、なかなか良い書籍をネットが発達するまでは知り得なかったからなのです。（勿論、数冊の啓蒙書的なものは読んではおりますが、すぐに頭から抜けますし、勿論、この手の本は厳密性に欠けます。）それで今何をやっているかというと、必死こいて解析学を　それもたかが理系の人が大学１、２年のレベルですること「専門書で」勉強しているという有様です。

あてにはならぬ直観とはいえ、Fu aka tri_iroさんが書いておられる内容が、極めて分かりやすいであろうことは、分かっているつもりです。
かがみさん、ご指摘？のように、ろくに「専門書も読まずに」理解しようとすること自体があつかましいと思います。ただ、大方の人は、「専門書を読んでも」チンプンカンプンでありましょうから、Fu aka tri_iroさんのように　素人にも分かりやすく書いていただくというのはとてもとても有難いことです。
但し、それは少なくとも「専門書をかじった人なら」皆分かるということでありまして、専門書と格闘したことがない人が、それだけで分かろうとすること自体がそもそも問題だと思います。そして、ネットの普及がさらなるトンでもの普及を発生させたのは、「専門書と格闘したこともない人」がネットへのアクセスで安易に分かった気になるからでしょう。
今、解析学を勉強していて思うのですが、専門書でよく分からない時に、ネットで検索をかけると、たまに分かりやすく書いておられるところに当たり、「ああなるほど！」って思うことがあります。ですからFu aka tri_iroさんのように玄人の人が素人向けに書いていただけるのはとてもとてもありがたいものなのです。
ただ、素人がそれを理解するにあたり気をつけなきゃいけないのは、「専門書と格闘した」のちに読むべきだということではなかろうかと思います。

ぷっつん大吉 2008/11/24(Mon)06:56:39 編集

>ぷっつん大吉さん

ぼくの書き方がちょっとミスリーディングだったかもしれませんが、いくら「自己完結的」とはいえ、ある程度のロジックの基礎は必須です。ゆえに、Fuさんの強制法入門が分かりにくかったにしても、それは「文系／理系」などというあやしげな区分けにあるのではなく、たんなる準備不足にある、と思われますので、何か適当な書籍等で知識を充填したのち、再チャレンジすることをおすすめします。

はやし 2008/11/24(Mon)18:11:19 編集

>かがみさん

あ、Kunenにそういう注意書きが書いてありましたか。で、いま確認してみましたが、なるほど、「数学的障壁」として「部分順序、稠密集合、フィルター」が、そして「メタ数学的障壁」として「モデルを定めることのむずかしさ」ということが挙げられていますね。強制法の章の初っぱなに書いてあるのに、どうもちゃんと読んでいなかったようです。

それはともかく、部分順序と稠密集合に関しては、ぼく個人はあんまり理解に苦しむところはないんですが、フィルターはやっぱりちょっと「ん？」となっちゃいますね。もちろん、Fuさんの説明でのように「要る情報を濾す」という、まさに「フィルター」としてのイメージはひじょうに分かりやすいんですが、そうした「イメージ」をフィルターのちゃんとした定義にかぶせて理解しようとすると、「イメージ」と「厳密な定義」がなかなか寄り添ってくれない。だからぼく自身、直感的には「ある部分順序のなかに、ぎゅっと情報がつまった部分があれば、それがフィルター」なんていう具合にしか理解できてないです。

はやし 2008/11/24(Mon)18:26:05 編集

>Fuさん

こんばんは。Fuさんのところは折にふれ見させていただいていたのですが、何とも迂闊なことに、「一から強制法」の記事をすっかり見落としていました。ゆえに、「こんなすばらしい記事があったのか」と、非礼を省みず紹介させていただいた次第です。

で、ぼくは集合論での強制法だけであっぷあっぷしている状態なので、再帰理論および算術における強制法の活用に関してはほとんど知らないのですが、けっこう前に、黄色い本のシリーズの再帰理論の巻でそういう応用を見かけた覚えがあります（いや、ちがうかな。だいぶあやふやなので、明日図書館で調べてみます）。にしても、そこでどういう議論がなされていたかなど覚えているはずもなく、話題を拡げられなくて申し訳ないのですが、そういった弱い理論での強制法が、かりに集合論におけるそれに比べてごく不十分なものであったにしても、そうした（概念面あるいは応用面での）「不十分さ」というのに比例して「厄介さ」も少ないでしょうので、そういう筋道から強制法に入るのもあるかもしれませんね（って、「弱い理論における強制法」とは何かについてろくすっぽ理解していないくせに、えらそうな口吻ですみません）。

ともあれ、Fuさんの「数学解説シリーズ」は、強制法のものにかぎらず、読みやすく、それでいて要諦を押さえたものになっており、まさに「たのしみながら勉強にもなる」ので、これからも続編を期待しています。

はやし 2008/11/24(Mon)18:41:29 編集

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