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いきなりだけど、質問。

次の(a)、(b)という選択肢があったら、どちらを選ぶ?

(a) 100%の確率で、つまり確実に100万円が手に入る。
(b) 89%の確率で100万円、10%の確率で500万円が手に入り、1%の確率で何も手に入らない。

じゃあ、次の(c)、(d)の選択肢だったら、どうだろう?

(c) 10%の確率で500万円が手に入り、90%の確率で何も手に入らない。
(d) 11%の確率で100万円が手に入り、89%の確率で何も手に入らない。




さて、この質問、前者は(a)を選ぶ人が多くて、後者は(c)を選ぶ人が(圧倒的に)多い、つまり組み合わせ的には「(a)、(c)」を選ぶ人が一番多いらしいんだけど、合理的な意思決定をすれば、(a)を選べば(d)、(b)を選べば(c)、ってなるっていうんだよね*1


こういう(前者でのように)「リスク回避的」になったり、(後者でのように)「リスク愛好的」になったりという、人間の一貫しない在り方を指して「アレのパラドクス」(こういう現象を解析したフランスの経済学者モーリス・アレに因む)と言うんだけど、おもろいよね。

何がおもろいかっていうと、「こういう不合理な行動を取っちゃう人間ってもんがおもろい」ってのももちろんあるんだけど、それよりおれは、「こういう不合理な行動が、数学という合理性のカタマリみたいなもんを使って解析できちゃう」ってことが特におもれーなあ、と思う。


で、この「アレのパラドクス」、今読んでいる『数理社会学入門』に載ってたことなんだけど、こういう「不合理の数理的(ということは、合理的)解析」ということに触れて曰く、

数理社会学に対する偏見の1つに、「人間行動は合理的ではないから、数学を用いて社会学しても意味がない」とする意見がある。
…(中略)…
しかし、こうした偏見には次のような誤解がある。つまり、数学が合理的説明を目指す一方法であることと、説明しようとする現象が合理的であることとの混同である。
…(中略)…
アレのパラドクスで興味深いのは、人の行動には合理的に説明できない癖や錯覚があることを、数学を使って合理的に説明していることである。

強調引用者


うんうん、そうだそうだ。


ということで、一体何を言いたいのかよく分からんエントリになっちゃったけど、是非みなさんも何かの機会にこの「アレのパラドクス」のことを開陳してください。疎ましがられること請け合いです。


*1 このことの証明が気になる人のための注。小学生レベルの算数、つまり加減乗除さえ分かってればOKだから、そんなに気張らずに読んでください。


まずx円のお金から得られる効用をu(x)、(a)…(d)の各々から得られる期待効用をUとする。すると、(a)…(d)それぞれの期待効用は以下の通りとなる(「かける」の演算子は「*」とする)。

U(a) = 1.0 * u(100万円)
U(b) = 0.89 * u(100万円) + 0.1 * u(500万円) + 0.01 * u(0円)
U(c) = 0.1 * u(500万円) + 0.9 * u(0円)
U(d) = 0.11 * u(100万円) + 0.89 * u(0円)


さて、本文中で触れたように、選択肢(a)は(b)よりも好まれるのだから、その期待効用の差U(a) - U(b)は正、つまりU(a) - U(b) > 0でなければならない。ここでU(a) - U(b)を具体的に計算すると、

U(a) - U(b)

= 0.11 * u(100万円) - 0.1 * u(500万円) - 0.01 * u(0円)


である。

同様に、選択肢(c)は(d)よりも好まれるのだから、U(c) - U(d) > 0。そこでU(c) - U(d)を具体的に計算すると、

U(c) - U(d)

= -0.11 * u(100万円) + 0.1 * u(500万円) + 0.01 * u(0円)


しかし、これらの計算結果をよく見てみると、U(a) - U(b) = -(U(c) - U(d))、つまりU(a) - U(b)とU(c) - U(d)は異符号の数になるはずであり、U(a) - U(b)とU(c) - U(d)がともに正の数になることはありえない。

ゆえに、(a)を(b)より好み、かつ(c)を(d)より好む、という選択は不合理である。証明終わり。

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コメント
はやしさん、私の裏の稼業と密接な数学のご紹介ありがとうございます。
相場師の世界では、効用関数と想定せずに、期待値を計算するのが一般です。

それは、さておいて、この記事を読ませて思ったのですが、この証明,効用関数の外に確率を蹴り出して掛け算してますね。
でも、人間の行動では、確率が高いこと自体が高い効用になるのではないのかって思います。(効用関数と確率が完全に独立していない。)
そう思えば、なんか(a)(c)の組み合わせって、結構合理的に見えてきたりして。
僕って、トンデモやさんでしょうか?(笑)
原作たそがれ清兵衛 2005/03/17(Thu)20:35:00 編集
はやしさん、続けさまにすいません。
そうだ、これはノーベル賞ものかもしれない。
やっぱ、僕は株のブログじゃなくて、はやしさんや閣下のブログで勉強しないといけない!!!
なぜ、ほとんどの投資家が相場に、ぞっこんになって、結果大損するかが証明できる糸口があるかも。
要は、お金をどんどん増やすには、Σx・M  (M=儲かる(損する)金額 x=その事象が発生する確率) を最大化するように行動することが求められ自分の効用の最大化を押し殺さないといけない。
でも、効用関数をもつ各人はΣU(x M)を最大化するように行動しちゃうんだ。お金が減って行ってもΣxU(x M)は最大化されていて快感があるから、なかなか足をあらえないんだ。

たまに、U(x kM)=xkU(M) (・・・ただし、kは任意の数) が成立する効用関数をもつ人がいて、そういう人が相場の天才といわれるのか。ふむふむ。妙に納得。
そういう人は、自己の効用関数の最大化=お金の最大化となっているのか。

わかったようなわかってないような。んんん。難しい。でお、どこかおかしいな。んんん。
単に、当たり前のことをさも難そうに言っているだけか。んんん。僕の頭はやっぱり腐っている。んんん。回転が悪すぎる。んんん。   
原作たそがれ清兵衛 2005/03/17(Thu)22:30:00 編集
はやしさん、また書いてすいません。またわくわくしてきました。無血革命目指して頑張らないと。
もし、1度の選択しかないなら、僕は(a)(c)を選択するかもしれません。ただ、1000回選択できるなら、期待値の高い(b)(c)を、ひめむさんと同じように選択します。
もし、投資の世界のように「何度も選択できる」という問題を導入するとどうなるのかということを、一度みんなで議論してみませんか?
ちなみに、昨日の2度目の僕の書き込みは、自分の思考がまだ全くといっていいほど整理されていません。

投資の世界では、自分の資金量と、一度の掛け金をどうするかというのは非常に大きな意味を持ちます。
これ即ち、ギャンブルを合理的に行う問題です。相場師=競馬師=パチプロ という理由の一端は、ここにもあります。
僕の論旨の混乱、疑問点について、「おまえ、あほちゃうか、こんなこともわからんのか」って書いていただいても結構ですから、ビシバシ指摘してやってください。僕が、思考できるネタと刺激をどうぞ与えてやってください。ほんとうに、馬鹿にされてでも思考しないと という次元にまで、最近頭が腐っていますから。
はやしさん、ひめむさん、お願いいたします。
原作たそがれ清兵衛 2005/03/18(Fri)06:20:00 編集
原作たそがれ清兵衛さん、おはようございます!

確率が高いことそのことが、高い効用になるのではないか、だから、この証明のように確率と効用が独立と考えるのはどうなんだろ、という原作たそがれ清兵衛さんのご意見、もっともです。

ただ、もうちょっと突っ込んで考えてみると、その確率自体、実際にはどう割り出してんのよ?ってことになると、あくまでその人自身が「ある事象が起こるであろう」と考えている「主観確率」になるとおもうんですね。だから実際は、その人自身の期待やら何やらの色々な思惑が織り込まれたものとなるはずです。

その上で上記の証明を適用すると、やはり「自分が一番いい」と思った選択肢同士が齟齬を来たしたり……ということになると思いますけど、こういう「無菌室の中」での思考実験は、現実とは乖離しためんがありますから、合理的であることが実践的であることを意味しない、という意味で、ここいらはよく考える必要がありそうです。

また、2個目の原作たそがれ清兵衛さんのコメントのΣx・Mのところで悩ましいのは、多分xの算出の部分で「他者」のΣx・Mをも考慮に入れなければならず、それが不定解を齎す、ということもあるのではないでしょうか? ともあれ、多数の思惑が渦巻く相場は、多分力学系を為しているに相違なく、それをフォーマライズして解く、というのは難儀そうだなあ、というのがぼくの印象です。って、全然的外れかな?

何にせよ、こういう風にある考えを数学的にフォーマライズするのって、その考えがすごくクリアになったり、かと思うと、単純そうな事象でも解けない方程式が導出されちゃったり……と、おもろいですよねえ。

こういうおもろい遊びをするときには「トンデモかな?」とか自分にブレーキをかけずに、とりあえず突っ走っちゃって、しかる後にじっくり考えてみる、ってので全然いいとおもうので、ぼくは突っ走っちゃいますねえ。

そういうわけで、コメントありがとうございました!
はやし 2005/03/18(Fri)06:34:00 編集
おっと、入れ違いの投稿でした!

で、原作たそがれ清兵衛さんが言われている、アレのパラドクスに出てくる例を繰り返し行うとすると、人はどういう選択を取るか?ですが、ぼくの考えではリスクの面を捨象し、期待収益を最大化する選択肢を選び続けるのではないか、と思います。

というのも、1回の試行に話が限られているとき、人が(b)ではなく(a)を選ぶのは、そのリスクの面を比較し、よりリスクの少ないほうを選んだ結果だと思うのですが(反対に、(c)の(d)選択肢では、リスクは同様の0円で、確率的にも1%しか違わないので、(c)にかけていく)、複数回試行という条件により、そのリスクの重みが薄れていく、と感じられる、と考えられるでしょうから、(b)を選ぶように思います。

ただ、それでも何回を許された時点から(b)を選び始めるのか、というのは、もう少しこの実験が行われた詳細が分からんと難しいかなあ、という感じです。

で、相場に関しては「何度も選択できる」ということは、確率、およびそれに関連する期待収益の見極めの精緻化ということを必ずしも意味しない、と思われるので、これまた、うーん難しい、と言うしかないですかねえ。主観確率を元に主観確率を算定するわけですら。

まあ、このことに関しては多分めむひさんの方が有益なことを言ってくれるはずですから、その登場を待ちましょう!


ちなみに、ぼくが言うのもなんですが、「ひめむ」ではなく「めむひ」さんです。
はやし 2005/03/18(Fri)06:58:00 編集
めむひさん、本当に申し訳ございませんでした。
はやしさん、ご指摘どうもありがとうございました。
人様のお名前を間違うなんて、本当に私はトンデモでございます。
自分の頭が完全に腐っているのをこれまた完全な形で証明してしまいました。これは、脳減る症ものです。
少しは、ニューロンのネットワーク数を増やすよう精進させていただくことを持ってお詫びに代えさせていただきたいと思います。
めむひさん、本当に申し訳ありませんでした。
原作たそがれ清兵衛 2005/03/18(Fri)21:32:00 編集
はやしさん、こんにちは。
これは、別に私の裏の稼業へのお誘いでは決してありませんとまずお断りした上で、
はやしさんとお話させてもらって、そしてブログを読ませてもらっての感想です。
はやしさんが相場張ったら、あっという間に超一流になるなと思いました。
世界征服も夢ではないと。(笑)
相場師としての資質として必要な、
非常にやばそうなものに対してどうやって知で切り込むかをよく心得ておられること。
切り込んだあと、そのやばそうなものと自分がどうやって適当な距離を保って正気でいられるかを心得ておられること。
そして、相場師の最大の失敗の原因である、「ホリエモン」を代表にほとんどの人間が価値の尺度にてしまう「お金」というものに執着がないため、決して感情面から破滅する恐れがないこと。
をすべてそろえておられると思いました。
でも、相場って面白いのですよ。相場に最も性格的才能的にも向いておられるかたは、決して手を出すことがない。そして、性格的才能的に余りむいていない人が、どんどん参入してくる。
多分、はやしさんは、一生相場を張られることはないと思います。だって、お金を全く価値尺度にされない方なのですから。
そういう私も、家族の事情がなければ決して相場に手を出していなかったと思います。

実は、はやしさんは「無菌室の実験は危険(というか慎重にすべき)」と書いておられましたが、私も同意見なのですが、でも、「危険な無菌室の実験」もとても必要な事なのではないかと思っています。
98年のロシア危機で97年のノーベル賞受賞者であるショールズとマートンが自ら運用したLTCMを破綻させましたが、問題は、ショールズとマートンが無菌室の実験をそのまま、実践の場に持ち出して適用して、そして破綻後も、98年のロシア危機は1万年に一度の珍事と言って譲らなかった頭の固さにあると思います。

しかし、ショールズとマートンのおかげで、まか不思議なオプションの価格形成過程の一端が、金融関係者に垣間見えるようになったのは事実だと思います。

完全に脱線ですが、98年は、私は本当に震撼しましたね。マルクスの「資本主義は過剰な信用創造と、その爆発の連続で不安定でありいずれ破綻する」という予言が100年以上たって本当に的中したのかって真剣に思いましたから。ソ連は、西側に肉を切らせて、骨を切ったのかと。
あの時、アメリカの経済の首脳が、グリンスパン ルービンという実務の天才級でなかったら、「金融」資本主義は本当に破綻していたと思います。

僕は、それでも無菌室の実験は実践面から見ても決して否定されるべきものではないと思います。
要は、実験者も、実践者も「無菌室の結果」であることをよく理解しておくことだと思います。しかし、それは、無菌室の実験を行うことの意味を上げることはあれ、下げることは決してない。
ところで、日本って、どうして(特に文系において)実験者と実践者の行き来が少ないのでしょうね。
私は、10年近く実践のほうばかりやってきたので、今無性に無菌室の実験がしたくて仕方ないです。

何か、やたら長くなりましたが、要は、もっと学術的なことも頭にたたきこまないと、自分の人生は、お金はそこそこあっても非常な貧困になってしまうという、いつものことです。
はやしさんに沢山ご紹介いただいている本の数々、少しずつでも良いから必ず読ませていただきます。だらだらと駄文の羅列、すいませんでした。
原作たそがれ清兵衛 2005/03/20(Sun)13:52:00 編集
原作たそがれ清兵衛さん、こんばんは!

「はやしさんが相場張ったら、あっという間に超一流になるな」という過分なるお言葉、いやあ、どうでしょうねえ。

確かに金銭的なる物に対する「欲」といった頓着はなく、そのくせ物事によっては異常に慎重な態度を取ったり……というのは、まあそういう一面もぼくにはないではないかもしれませんが、翻って言えば、「えいやあ!」という向こう見ずなところ(というと、相場を張ってる方に失礼か)とか、胆力に欠けると思うので、原作たそがれ清兵衛さんも仰るように、実地に相場に手を出す、ということはぼくはないでしょうねえ。

ただ、相場というか、金融市場というものにはやはりそれなりに興味はあり、ブラック=ショールズの微分方程式モデルとか、ファイナンスの数理の教科書とか、一応風を通したことはあります(確率微分方程式ってのは、それだけを見ても非常に興味深いものですから)。

それで、「無菌室の実験は危険」のことですけど、まあ分かるとは思いますが、あくまで自戒の言葉なんですよね、自分に対しての。

「無菌室」での思考実験ばかり繰り返していると、どうしてもその考えていることの形式化に都合のいい前提を持ち込んだりしてしまう。

それを避けるために一番いいのは、これも原作たそがれ清兵衛さんが仰っているように、「無菌室」に実践者や実務者を招きいれること、だと思うのですが、最近は少しづつマシになってきたとはいえ、やはりまだまだ実践者の参与というのは少ないですよね。

そんなわけで、ぼくは逆に「実践の場」にちょっとは触れんといかんなあ、と思っています。まあ、とはいえ、することと言ったら、「実践の場」を描いた文物を読む、とかが関の山でしょうが……。
はやし 2005/03/20(Sun)23:30:00 編集
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 はやしさんが「アレのパラドクス」というエントリで以下のような例証をしていますが、取り上げられていた例が、普通におかしいと思ったので反論してみます。次の(a)、(b)という選択肢があったら、どちらを選ぶ?(a) 100%の確率で、つまり確実に100万円が手に入る。(b) 89%の確率...
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