アレのパラドクス [趣味の数学]

いきなりだけど、質問。

次の(a)、(b)という選択肢があったら、どちらを選ぶ？

(a)　100%の確率で、つまり確実に100万円が手に入る。
(b)　89%の確率で100万円、10%の確率で500万円が手に入り、1%の確率で何も手に入らない。

じゃあ、次の(c)、(d)の選択肢だったら、どうだろう？

(c)　10%の確率で500万円が手に入り、90%の確率で何も手に入らない。
(d)　11%の確率で100万円が手に入り、89%の確率で何も手に入らない。

さて、この質問、前者は(a)を選ぶ人が多くて、後者は(c)を選ぶ人が（圧倒的に）多い、つまり組み合わせ的には「(a)、(c)」を選ぶ人が一番多いらしいんだけど、合理的な意思決定をすれば、(a)を選べば(d)、(b)を選べば(c)、ってなるっていうんだよね*1。


こういう（前者でのように）「リスク回避的」になったり、（後者でのように）「リスク愛好的」になったりという、人間の一貫しない在り方を指して「アレのパラドクス」（こういう現象を解析したフランスの経済学者モーリス・アレに因む）と言うんだけど、おもろいよね。

何がおもろいかっていうと、「こういう不合理な行動を取っちゃう人間ってもんがおもろい」ってのももちろんあるんだけど、それよりおれは、「こういう不合理な行動が、数学という合理性のカタマリみたいなもんを使って解析できちゃう」ってことが特におもれーなあ、と思う。


で、この「アレのパラドクス」、今読んでいる『数理社会学入門』に載ってたことなんだけど、こういう「不合理の数理的（ということは、合理的）解析」ということに触れて曰く、

数理社会学に対する偏見の1つに、「人間行動は合理的ではないから、数学を用いて社会学しても意味がない」とする意見がある。
…(中略)…
しかし、こうした偏見には次のような誤解がある。つまり、数学が合理的説明を目指す一方法であることと、説明しようとする現象が合理的であることとの混同である。
…(中略)…
アレのパラドクスで興味深いのは、人の行動には合理的に説明できない癖や錯覚があることを、数学を使って合理的に説明していることである。

強調引用者

うんうん、そうだそうだ。


ということで、一体何を言いたいのかよく分からんエントリになっちゃったけど、是非みなさんも何かの機会にこの「アレのパラドクス」のことを開陳してください。疎ましがられること請け合いです。

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*1 このことの証明が気になる人のための注。小学生レベルの算数、つまり加減乗除さえ分かってればOKだから、そんなに気張らずに読んでください。


まずx円のお金から得られる効用をu(x)、(a)…(d)の各々から得られる期待効用をUとする。すると、(a)…(d)それぞれの期待効用は以下の通りとなる（「かける」の演算子は「*」とする）。

U(a) = 1.0 * u(100万円)
U(b) = 0.89 * u(100万円) + 0.1 * u(500万円) + 0.01 * u(0円)
U(c) = 0.1 * u(500万円) + 0.9 * u(0円)
U(d) = 0.11 * u(100万円) + 0.89 * u(0円)

さて、本文中で触れたように、選択肢(a)は(b)よりも好まれるのだから、その期待効用の差U(a) - U(b)は正、つまりU(a) - U(b) > 0でなければならない。ここでU(a) - U(b)を具体的に計算すると、

U(a) - U(b)

= 0.11 * u(100万円) - 0.1 * u(500万円) - 0.01 * u(0円)

である。

同様に、選択肢(c)は(d)よりも好まれるのだから、U(c) - U(d) > 0。そこでU(c) - U(d)を具体的に計算すると、

U(c) - U(d)

= -0.11 * u(100万円) + 0.1 * u(500万円) + 0.01 * u(0円)

しかし、これらの計算結果をよく見てみると、U(a) - U(b) = -(U(c) - U(d))、つまりU(a) - U(b)とU(c) - U(d)は異符号の数になるはずであり、U(a) - U(b)とU(c) - U(d)がともに正の数になることはありえない。

ゆえに、(a)を(b)より好み、かつ(c)を(d)より好む、という選択は不合理である。証明終わり。