『プリンキピア・マテマティカ』を読む (0.12) 文と文のかかわり [『プリンキピア・マテマティカ』を読む]

今回は前回の用語説明を受けて、「函数」として定義される「論理オペレータ」について記述する。

「論理オペレータ」とは、『プリンキピア』においては「命題函数」と呼ばれているものだが、平ったく言ってしまえば、文と文の接合関係を表現するもの、と思ってもらえればよろしい。そして、『プリンキピア』においてとくべつの記号が用意される文と文の関係、つまりは命題函数は、つぎの5つである。

1. ∼p「pではない」
2. p∨q「pまたはq」
3. p⋅q「pかつq」
4. p⊃q「pであればq」
5. p≡q「pとqは同じこと」

ここで「函数」というものは「ある値を（複数個）受けとり、それに対応してある値を出力する」ものであったことを思いおこそう。そして、「命題函数」とはその値域、つまりは「出力される値」の範囲が{T,F}、すなわち「真（正しい）か偽（間違っている）か」に限定されるものであった。たとえば1の「∼p」と表される命題函数は、値を1つ受けとり、その値に応じてT（真）かF（偽）を出力する。それでは、その受けとる値と出力する値の関係はどうなっているのか？　それを表したのが以下である。

1. ∼p
   pがTであるならFを、pがFであるならTを出力する。
2. p∨q
   pかqがTであるならTを、それ以外（つまりはpもqもFなら）Fを出力する。
3. p⋅q
   pとqが両方ともTならTを、それ以外（つまりはpかqのどちらかがFなら）Fを出力する。
4. p⊃q
   pがTでqがFでないかぎりTを、それ以外（つまりはpがTで、かつqがFなら）Fを出力する。
5. p≡q
   pqの真理値が同一（つまりはpとqがともにTあるいはF）であるならTを、それ以外（つまりはpがTでqがF、もしくはpがFでqがTなら）Fを出力する。

それぞれの説明から、たとえば「p⋅q」は「pかqのどちらかがF」の場合以外にTとなるので、これは「∼(∼p∨∼q)」（pでないか、qでないか、ではない）と表現でき、「p⊃q」は「pがTで、かつqがF」の場合以外にTとなるので、これは「∼(p⋅∼q)」つまりは「∼p∨q」と表現でき、さらには、「p≡q」は「(p⊃q)⋅(q⊃p)」つまりは「(∼p∨q)⋅(∼q∨p)」つまりは「∼(∼(∼p∨q)∨∼(∼q∨p))」と表現できるので、結果、「∼」と「∨」があれば上記5種の命題函数は表現できることになる。

つぎにその用法（≒意味内容）を考える。1から3は、日常言語の用法とそれほど乖離はないので、問題はないであろう。ただ、2の「pまたはq」は、pとqがともにTである場合もTになることに注意（日常言語の場合、たとえば「A社製の醤油かB社製の醤油を買ってきて」と言う場合、その両方を買ってくることは期待されないであろう）。問題になるのは、「ならば」という自然言語での言い回しが（5の場合は「内在的」に）登場する4および5の場合である。

結論から言えば、4（もしくは5）の説明に現れる自然言語「ならば」は、言うなれば「最近似」とでも言うべきもので、自然言語「ならば」の用法と同一視すると、これは日常言語ではふつう許容されえない「ならば」文も許容することに抵抗を感じることになるだろう。たとえば、たいていの場合その日常用法にあっては、「ならば」で結ばれる文同士は、それぞれのあいだに何らかの「内的関連」が前提されていることが常である。しかし、ここでの「ならば」にあっては、そのような結びつきは必ずしも必要とされない。たとえば、「1+1=2であるなら、現在のフランス国王は禿である」は、「1+1=2」が真、そして「現在のフランス国王は禿である」が偽（つまり、「現在のフランス国王は禿ではない」）の場合、その場合にのみ、偽となる。そして、それら命題（文章）間には、少なくとも明らかな「内的関連」は存在しない。このような、数理論理学における「ならば」をとくに「実質含意 material implication」と呼び、日常言語からのそれと区別する。

つまり、上記をまとめると、『プリンキピア』での命題函数は（少なくともこの段階では）「命題（文）と命題との関係」の内実を扱うのではなく、その個々の命題の値によって外的に処理される、と言える。

次回は、上の指摘とかかわる「内包的」と「外延的」の区別、さらには、（余裕があれば）「主張記号」と、（今となっては）「『プリンキピア』独自のもの」と言える「・（ドット）」の用法について解説する。