ある日のオフィスアワー [日々]

ある日のオフィスアワーでの学生さんとの会話。

学生さん：（ロジックの質問が一息ついて）ところで、線型代数わかる？
ぼく：（こいついきなり何を言い出すんだ）えーっと、ちょっとはわかるけど、勉強したの大昔だから、たいがい忘れちゃってるよ。で、線型代数がどうしたの？
学生さん：内積がよくわからなくって。とくに、何でコサインがいきなり出てくるのかわからない。
ぼく：（内積か、鬼門だな）じゃあ、まずは $\overrightarrow{\rm u}$ と $\overrightarrow{\rm v}$ を図示してみて、そこからそれらの内積を考えてみようよ。$\overrightarrow{\rm u}$ と $\overrightarrow{\rm v}$、あと、$\overrightarrow{\rm v}$ の終点から $\overrightarrow{\rm u}$ の終点へのベクトルもあわせて図示すると、こんなふうになるよね。（オフィスの黒板に以下の図を描く）
\[
\xymatrix{
& & \ar[ddr]^{\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v}} & \\
& & & \\
\ar[rruu]^{\overrightarrow{\rm v}} \ar[rrr]_{\overrightarrow{\rm u}} & & &
}
\]
学生さん：ふんふん。
ぼく：で、$\overrightarrow{\rm v}$ の終点から $\overrightarrow{\rm u}$ に垂線をおろして、それと $\overrightarrow{\rm u}$ のまじわりを $H$ とし、$\overrightarrow{\rm v}$ の終点から $H$ の長さを $h$ としよう。これらを図示すると、こんなふうになる。
\[
\xymatrix{
& & \ar[dd]^{h} \ar[ddr]^{\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v}} & \\
& & & \\
\ar[rruu]^{\overrightarrow{\rm v}} \ar@{-}[rr] & & H \ar[r] &
}
\]
ぼく：ところで、$\overrightarrow{\rm u}$ の始点を $A$ として、$\overrightarrow{\rm u}$ と $\overrightarrow{\rm v}$ のなす角度を $\theta$ とすると、コサインの定義から $\cos\theta = \frac{AH}{|\overrightarrow{\rm v}|}$ ってなるよね。
学生さん：えーっと、うん、なるなる。
ぼく：だから、これを $AH$ について整理すると、$AH = |\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta$ となる。
\[
\xymatrix{
& & \ar[dd]^{h} \ar[ddr]^{\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v}} & \\
& & & \\
A \ar[rruu]^{\overrightarrow{\rm v}} \ar@{-}[rr]_{|\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta} & & H \ar[r] &
}
\]
学生さん：あ、内積の公式の一部が出てきた。
ぼく：うん、それが狙いだからね。あとは、これをどうやって $\overrightarrow{\rm u} \cdot \overrightarrow{\rm v} = |\overrightarrow{\rm u}||\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta$ にもっていくかなんだけど……まず、$\overrightarrow{\rm u}$ の終点を $B$ として $HB$ を $|\overrightarrow{\rm u}| - |\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta$ で表そう。
\[
\xymatrix{
& & \ar[dd]^{h} \ar[ddr]^{\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v}} & \\
& & & \\
A \ar[rruu]^{\overrightarrow{\rm v}} \ar@{-}[rr]_{|\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta} & & H \ar[r]_>{|\overrightarrow{\rm u}| - |\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta} & B
}
\]
ぼく：ところで、$AH$ をコサインで表したのとおなじ要領で $h$ も三角関数で表せるよね。
学生さん：えーっと、$\frac{h}{|\overrightarrow{\rm v}|} = \sin\theta$ だから $h = |\overrightarrow{\rm v}|\sin\theta$ かな。
ぼく：そうそう。で、$HB$ を底辺とする直角三角形にピタゴラスの定理を適用すると $|\overrightarrow{\rm v}|^2\sin^2\theta + (|\overrightarrow{\rm u}| - |\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta)^2 = |\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v}|^2$ となる。
学生さん：ふんふん。
ぼく：で、右辺の $|\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v}|^2$ は $(\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v})^2$ と同等だよね、どのみち $0 <$ だから。
学生さん：えーっと、そうかな。
ぼく：たぶんそうだから、あとでちゃんとたしかめといて。（そうしないと、$\overrightarrow{\rm u} \cdot \overrightarrow{\rm v}$ が出てこないし）
学生さん：うん。
ぼく：とにかく、$|\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v}|^2$ を $(\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v})^2$ で置きかえて展開すると、
\[
|\overrightarrow{\rm v}|^2\sin^2\theta + |\overrightarrow{\rm u}|^2 -2|\overrightarrow{\rm u}||\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta + |\overrightarrow{\rm v}|^2\cos^2\theta \\= \overrightarrow{\rm u}^2 -2\overrightarrow{\rm u}\cdot\overrightarrow{\rm v} + \overrightarrow{\rm v}^2
\]
となる。これを、$|\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v}|^2$ を $(\overrightarrow{\rm u} - \overrightarrow{\rm v})^2$と見なしたのと同じ要領で $\overrightarrow{\rm u}^2$ と $\overrightarrow{\rm v}^2$ をそれぞれ $|\overrightarrow{\rm u}|^2$ と $|\overrightarrow{\rm v}|^2$ と見なし、さらに $\sin^2\theta = 1- \cos^2\theta$ を利用して式を整理すると内積の公式 $\overrightarrow{\rm u} \cdot \overrightarrow{\rm v} = |\overrightarrow{\rm u}||\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta$ が得られる。（この記事をあらためて読みかえして気づいたのだけど、$\sin^2\theta = 1- \cos^2\theta$ などを持ちださずとも、たんじゅんに、$|\overrightarrow{\rm v}|^2\sin^2\theta$ と $|\overrightarrow{\rm v}|^2\cos^2\theta$ を $|\overrightarrow{\rm v}|^2$ でくくってしまえば $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ ゆえ $|\overrightarrow{\rm v}|^2$ だけのこることになるので、そう説明すればよかったと反省しきり）
学生さん：おお！　ていうか、これ、射影の公式と関係ある？
ぼく：射影はわかるけど、射影の公式って？
学生さん：うえの図を利用すると $\overrightarrow{AH} = \frac{\overrightarrow{\rm u}\cdot\overrightarrow{\rm v}}{|\overrightarrow{\rm u}|^2}\overrightarrow{\rm u}$ かな。
ぼく：ああ、$\overrightarrow{AH}$ を $\overrightarrow{\rm u}$ で表示するわけね。これ、内積の公式を変形して $|\overrightarrow{AH}|$ を表して、それを $\overrightarrow{\rm u}$ からつくった単位ベクトルと組みあわせれば一発だよ。つまり、内積の公式から $|\overrightarrow{AH}|$（つまり $|\overrightarrow{\rm v}|\cos\theta$）は $\frac{\overrightarrow{\rm u} \cdot \overrightarrow{\rm v}}{|\overrightarrow{\rm u}|}$、$\overrightarrow{\rm u}$ を元にした単位ベクトルは $\frac{\overrightarrow{\rm u}}{|\overrightarrow{\rm u}|}$ だから、これらをかけあわせると上式を得る。
学生さん：（眼をかがやかせながら）うわー、ほんとだ！　内積と射影はこういうふうにつながってんだ！
ぼく：おもしろいよね。つうか、線型代数の授業にTAいないの？
学生さん：いるんだけど、質問に行っても「とにかく、公式によればそうなるんだし、公式を覚えること！」としか言わないんだ。どうしてそうなるか説明してほしいのに。

公式を覚えることの重要性も否定しないけど、「どうしてそうなるか」の説明もちゃんとしてほしいですよね。そうすることで、公式の暗記も容易になるわけだし。

というか、ロジックの質問をおねがいします。