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先日スカイプ上で行った「数学の哲学」講義に関する書誌を、参考のために挙げておく。あまりマニアックにならないよう、リーダビリティや入手可能性についてはいちおう気を配ったが、題材が題材だけに、そうした配慮にも限界があることを最初にお断りしておく。



数学史に関して
有名で手に入りやすいものは

であろうが、いささか「読みもの風」でありすぎるので、以下のものをすすめる。

フランス語ではあるが、以下のものが数学思想史としては白眉である。



「数学の哲学」一般に関して
定番だが、以下のものがやはりすぐれている。

「数学の基礎」をめぐるシンポジウムで、カルナップ、ハイティング、そしてフォン=ノイマンが、それぞれ論理主義、直観主義、そして形式主義を代表して行なった講演録だけでも読んでおきたい。ちなみに、上記書のいくつかの論文は、以下に翻訳されている、はず。



集合論に関して
集合論に関する、哲学的およびテクニカルな取扱いの両方を含み、かつリーダビリティも高い本となると、以下になる。

集合論の基礎的なところから、最近の巨大基数論にいたるまでを手短に概観できる。また、戸田山和久のゲーデル論も必読。

「集合論の哲学」限定ということだと、個人的には以下をすすめる。

歴史的なことに関しては、カナモリ氏の以下の論文が非常に参考になる。



数理論理学に関して
何と言っても、フレーゲ『概念記法』、ゲーデル不完全性定理論文の翻訳を含む以下のアンソロジーが便利。

論理学史に関しては、以下の2冊が定番。

「論理学の哲学」に関しては、しょうじきこれと言った本が思いうかばないが、個人的な好みでパトナムの以下の本をすすめておく。

簡潔に書かれた、よい本である。



基礎論の諸流派(論理主義・直観主義・形式主義)に関して
これに関しては、手軽に読めるものは、少なくともおれの知る限り存在しない。ゆえに、「原典」をいちおう挙げておく。



ゲーデルの、いわゆる「不完全性定理」に関して
いまではごく簡便に以下の文庫本が、「定理そのものについては原論文を読みゃいいだろ」というスタンスでbefore and afterを書き綴ることに徹し、それがゆえに非常に有益なものとなっている解説も付いていることだし、まずもって読むべきものである。

参考書としては、上で挙げた『ゲーデルと20世紀の論理学』の不完全性定理を扱った巻がいいだろう。

ちなみに、この本には逆数学と2階算術についての論文も所収されている。



数学の哲学の(それなりに)最前線に関して
まず、ネオフレーゲ主義に関しては

有限主義(ヒルベルトのプログラム)に関しては

が基本書。唯名主義、自然主義、そして構造主義に関しては

をぞぞぞっと挙げておく。数学の適用可能性に関しては、以下を。



最後に、日本語で読める、「数学の基礎」をめぐる書物として、以下の2冊をすすめておく。

いずれも、リーダビリティにすぐれた、よい本である。

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コメント
美味しい料理を供したシェフの「素材」の説明といった感じ。
数学という、とかく敬遠しがちな分野だけど、丁寧な流れの講義で興味深く聴講することが出来ました。身近な「数学」という意味ではデザインの中の「図形」というものに日々接しているのですが、このような人工的な創造物ではなく、自然界に見られるフラクタル構造に、なぜこのような現象が出現するのかが不思議。ロマネスコという野菜も実物をぜひ見てみたいです。今度、機会があればフラクタルについても何か書いてね。
Sita 2007/11/26(Mon)08:33:00 編集
ここに挙げられたものは、今回の講義を用意するにあたって参照した「素材」というより(日本においてきちゃったものが大部分だし、それに、感謝祭休暇中で図書館も閉まっていたので、借出して参考することもできなかった)、講義を聞いた人がおのおの、気になる部分をさらに掘り下げられるようなFurther Readingリスト、といったところかな。

フラクタルはじつはあんま詳しくない、というか、数学的にそれほどwell-definedな概念ではないので(「適度な複雑さ」ってなんじゃい!とか)、その直感的な理解可能性とはうらはらに、きちんと展開するとそれなりにめんどうだったりするんだけど、ただ、集合論が「色々な無限」があることを明かしたように、フラクタルについて語ることは「色々な次元」があることを(べつだんフラクタル幾何が「色々な次元」を見出したわけではないにせよ)説明する取っかかりになるかな、とも思うので、いつかやってみましょう。

で、ロマネスコ、あれちょっときもちわるくない?
はやし 2007/11/26(Mon)11:32:00 編集
気持ち悪いから見たいの。蕾の数がフィボナッチ数に一致というのも小粋でしょ?
Sita 2007/11/26(Mon)19:37:00 編集
「こわいもの見たさ」&「神は細部に宿る」というやつですな!
はやし 2007/11/27(Tue)01:53:00 編集
座布団一枚、差し上げる!
Sita 2007/11/27(Tue)20:29:00 編集
なんと!
はやし 2007/11/28(Wed)12:10:00 編集
初めてのぞきました.私の興味ある分野と同じかな?とおもいました.超準解析や超集合について書いてくれるとありがたいな・・・
ところで,金森氏の巨大基数の集合論の続編がでたかご存じでしょうか?
宮田 義美 2010/06/09(Wed)19:28:29 編集
「数学の基礎をめぐる論争」の中の当事者だったマックレーンはこの論争のあと「数学の形式と機能」という著書を書いてこの論争に答えたかな?
マックレーンの専門は「圏論」かな?日本語で「圏論の基礎」という著書がありますね!
宮田 義美 2010/06/09(Wed)22:41:06 編集
宮田 さま
超準解析やハイパーセットにかんしては、ぼくも興味はあるのですが、この「講義」においては、ごく入門的なものにとどめざるを得なかったので、まったくふれることができませんでした。いつか、これらの話題についても何か書けたらな、と思うだけは思っています。

マクレーンの、Mathematical Intelligencer 上でなされた論争は、ちょうど Mathematics: Form and Function 執筆時とかさなっており、それもあって、「基礎の基礎」(ここで言う「基礎」は elementary の意ではなく foundation のそれと捉えてください)的なところにかんして思うところが多大にあったのでしょうね。ただ、Mathematics: Form and Function においては、それほど論争臭はただよっておらず、自分の考えをフラットに述べるにとどまっている感じです。

カナモリ氏の The Higher Infinite の続編については、ざんねんながら、何の情報もにぎっておりません。
はやし 2010/06/11(Fri)17:18:25 編集
久しぶりにアクセスしました.コメントありがとうございました.現在,数感覚について認知神経学,大脳生理学等から定義できないかを考えています.
こんな定義です.「数感覚とは,視覚において眼からの情報を網膜を通じて大脳皮質V1野(第一次視覚野)の運動方向性をもったコラム構造に投射される即時直接引きおこされる意識内容で,その内容が行動的な意味や象徴をそなえていない空間と量にかんする意識内容である.」
この定義から「原論」第1卷の定義を考えるとおもしろいかな・・・
錯視ということも必要ですが・・・


宮田 義美 2010/10/14(Thu)19:48:53 編集
ということは、究極的には、すべての「数覚」は視覚に還元される、とお考えなのでしょうか? とすると、まずは、「量」というものがなぜ、いかにして視覚情報に還元可能なのか、気になるところです。
はやし 2010/10/28(Thu)19:37:41 編集
cartierbraceletlove The tentative title of my dissertation is ‘A Defense of Millian Evidentialism’. In it I argue that Millianism and evidentialism, as traditionally understood, are incompatible. I formulate a view that combines insights of both Millianism and evidentialism and I argue that the resulting view has the resources for providing novel solutions to some philosophical problems. I also defend the view from recent threats posed by epistemic two-dimensionalism, epistemic contextualism, and Millian Descriptivism (‘Millian Descriptivism’ is Ben Caplan’s apt name for a certain version of Millianism defended by Scott Soames and Michael Thau). My advisors are David Braun, Richard Feldman, and Greg Carlson.
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schmuck cartier Kopie URL 2017/06/01(Thu)14:47:47 編集
cartierbraceletlove Well guys, I think we’re going to have to concede defeat here. There’s just no arguing with such crystalline logic and eloquence. I’m hopelessly disarmed by the quotation marks alone.
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love armreif gold Nachahmung URL 2017/06/01(Thu)14:48:44 編集
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