つまずきどころ [雑]

昨日めでたく採点を終えた初等論理学のテストですが、採点しているとみんながどこでつまずくのかが見えてきて、なかなかおもしろいです。そういう、論理学ビギナーがつまずきやすい点のなかで、次の2点がとくに目立っていました。

1. 同値記号≡の使い方
2. 十分条件／必要条件の区別

第1点目に関しては、けっこう「え、なんで？」という感じだったりもするんですが、「命題Pと命題Qの真理値が等しいとき（つまり、両方とも真か、両方とも偽のとき）、そしてそのときのみ、P≡Qは真」という基本に加え、排他的論理和、つまり、「AかBが真、ただし両方とも真であることはない」ということは、この同値記号を使って「¬A≡B（あるいは¬(A≡B)）」とも表せる、という追加情報をも吹き込んだことが混乱のもと、だったのかもしれません。

第2点目に関しては、高校の授業のときにもけっこう混乱している人がいたので、今回もきびしいだろうなあ、と思っていたら、案の定、でした。こうした「つまずき」をどうするか、いちばんいいのは

• P→Qという命題があったとき、
• PはQの十分条件
• QはPの必要条件

ということを愚直に覚え込んでしまうこと、かもしれませんが、日本語の場合、「十分」と「必要」ということばがそうした「愚直な覚え込み」を阻害している側面もなきにしも、かもしれません。だから、たとえば、ここでPを「東京にいる」、Qを「日本にいる」としたとき、P→Qは「東京にいれば、日本にいる」となるわけで、しかるに

• 「東京にいる」という条件が満たされれば、「日本にいる」ということは自動的に成り立つ
• 「日本にいる」という条件は、「東京にいる」ということが成り立つためにはぜひとも必要

という感じにパラフレーズできるので、これを起点に、十分条件のことはちょっと忘れて、必要条件のほうをがっちり覚えてしまい（そして、この必要条件は、じっさいに日本語の語感からしても「必要」ということなので、覚えやすい、と思う）、十分条件は「必要条件じゃないやつ」と陰画的に覚えるのがよいのではないかと。