これは、たしかに、ひどい。 [かなりダメな話]

先日ネットをうろいついていたら、ゲーデルの不完全性定理についてまたしてもトンデモないことを言っている人を発見した。ここは、かがみさんの至言

とんでもの人に一生懸命「それは違いますよ」と説明する良心的な人もたくさんいる訳ですが、これははっきり言いまして時間の無駄です！！（かがみさんのとこの「とんでもの諸相」より）

に従って「ああ、またか」とスルーしておくのが「大人の対応」なのかもしれないが、立場上（？）やはり何か言っておかねばなるまいと思うので、一言しておく。なお、上記記事のゲーデルの不完全性定理をめぐる部分は、あくまで「人の言ってることに反対するための便法」であって、素でそういうことを言っているわけではない可能性もないではないが、ここでは「素で言っている」ことを大前提として話を進める。

まず、くだんのトンデモさんが不完全性定理についてどのようなことを言っているのか、該当部分を見てみよう。

ゲーデルの不完全性定理は世界は矛盾していることを証明している。それを受け取れるかどうかがうすらバカとそれ以外とを隔てる分水嶺となる。それはルビンの壷に似ている。ルビンの壷が人の顔を描いてないのにそこにそれを感得させるように、ゲーデルは数学の証明をしながら世界の実相についても証明してみせた。「ゲーデル、エッシャー、バッハ」はまさしくそのルビンの壷的にゲーデルやエッシャーやバッハが描いた世界の実相を読み取ろうとしている本である。そのことを感得できないことこそが真のうすらバカである証左。

「ゲーデルの不完全性定理は世界は矛盾していることを証明している」？　ほんとうに、何をどうすれば、不完全性定理をそのように解釈できるのか？　上の引用文からもうっすらと読み取れることではあるが、この人の不完全性定理のネタ元は『ゲーデル・エッシャー・バッハ』のみで、そこに書かれている不完全性定理についての断片情報を元に、妄想を逞しくしてしてしまっただけなのではないか？　そうも思わせられる（ちなみに、『ゲーデル・エッシャー・バッハ』だけを読んだぐらいで不完全性定理について理解した気になるのは、ひじょうに、ひじょうに危険なことだと思う。『ゲーデル・エッシャー・バッハ』は、なかば意図的ではあろうけど、かなり混乱した書かれ方をされており、ゆえに、不完全性定理について誤解を与える余地がかなりある）。何はともあれ、ひじょうにザッパクにではあるけど、不完全性定理の言うところに耳を傾けてみよう。

算術を含む形式系において、そうした系が無矛盾であれば、じっさいには真であるにもかかわらず、その証明も反証もできない命題が存在する。

これが、俗に「ゲーデルの第1不完全性定理」と呼ばれるものである（そして、そういう証明も反証もできない命題には、そうした系自体の無矛盾性を主張する命題も含まれる。これが、第2不完全性定理である）。さて、この不完全性定理の主張をプレーンに受け取り、そしてここから「世界は矛盾している」という主張を導きだすにはどうすればよいか？　それには、少なくともつぎのふたつの用件が満たされる必要がある。

1. 「世界」が完全に形式化されている
2. 算術を含む形式系は矛盾している

第1の条件は、実際的に考えればまず不可能、理論的に考えてもはなはだあやしいもの、と思われる。つまりこの時点で、「世界」に関する不完全性定理の適用の途は、じっしつ閉ざされる（もしかして、くだんのトンデモさんは、この「世界が形式化されえぬこと」を以て、「世界は矛盾している」ことを思い浮かべてしまっているのかもしれない。しかし、そもそも形式化されていないようなことについて「矛盾している」だの何だのと言うことは、不完全性定理が立脚する地点からすれば、端的に無意味であろう）。

第2の条件は、くるるさんがいみじくも指摘されているとおり、これが成り立つとする解釈は、ゲーデルの真意からは限りなく遠い、と言わざるを得ない。念のため、ゲーデル自身の語るところを見ておこう。

「古典的集合論の概念や公理は何らかの意味（あるいは確定的な意味）を持つ」ということを否定するような人（たとえば、直観主義者のような）のみが、こうした解答（はやし註: 「連続対仮説には最終的な解はない」という解答）に満足できるのでしょう。しかし、集合論の概念や公理が、はっきりと確定された現実を描いていると信じるものにとっては、そうではありません。なぜなら、そうした現実においては、カントールの予想（はやし註: 連続対仮説のこと）は真か偽かどちらかではならないのですから。（ゲーデル著作集第2巻181ページ）

言うまでもなくゲーデルは、「集合論の概念や公理が、はっきりと確定された現実を描いていると信ずるもの」であり、したがって連続対仮説は真か偽のどちらかとして決定しうる、と考えていた。そもそもゲーデルは、数学において「解けない問題」など存在しないと考えていたのであって、「算術を含む形式系は矛盾している」どころのさわぎではない（もし、数学の無矛盾性を担保しつつ、「世界が矛盾していること」を主張するのであれば、そうした主張と不完全性定理との関わりなどもはやないも同然だろう）。

これだけで、不完全性定理から「世界は矛盾している」という主張を導きだすことの無理無体さ、あるいは、そうした試みを為す人の「大バカ」さ加減（「うすらバカ」どころの話ではない！）が明白だとは思うが、最後にもう一点、「数学上の言明」と「世界」の聯関についてゲーデルの語るところを引いて、このあまりに長くなってしまったエントリを閉じることにしよう。

……数学の命題は、時空内に存在する物理的あるいは心理的現実については、何も語りません。なぜなら、数学の命題はそこに現れる語の意味によってすでに真であり、そこに実在物の世界はまったく関わってこないからです。（ゲーデル著作集第3巻320ページ）

つまり、中間のいろいろな議論をすっ飛ばして、不完全性定理から「世界」なぞというものに関する言明を引き出してしまうこと自体、すでにしてすっとこどっこいなのだ。

追記
このトンデモさんが他に不完全性定理について書いているものを見て、この人は「非決定性」と「矛盾」を混同しているんだな、ということに思い至った。ともあれ、くだんのトンデモ発言は、「反対のための便法」などではなく、まったくの素であることはまちがいないのではないかと。