『プリンキピア・マテマティカ』を読む (0.11) 変わるものと変わらないもの [『プリンキピア・マテマティカ』を読む]

前回では『プリンキピア・マテマティカ』にかぎらず、ひろく数学一般で用いられる「変数」というものについて、『プリンキピア』序論第1章でなされる注意とともに、それがどのようなものか説明した。この稿では、じっさいにそれら諸変数が『プリンキピア』においてどのように使われるのか、それを見る。

まず、具体的な説明に入る前に、ひとつふたつ補足説明をあたえる。

第1点。前回ではvariableを「変数」と一貫して訳したが、言うまでもなく原語variableには「数」という含みは（少なくともその表面に明らかに現れているものとしては）ない。variableが意味するのはただ「変化するもの」ということだけだ。だから、これ以降、variableは文脈によって「変項」とも呼ぶことにする。

第2点。前回ではvariableを「何かの代わりに文字を使う」という相のもとで捉えたが、このような捉え方のものとでは、本来それに入らぬものまで変項に含められてしまう。つまり、「何かの代わりに文字を使う」という意味では変項と代わらないが、その「何か」が変項のように不定ではなく、ごく限定的に定まっているものがある。それが「定項 constant」と呼ばれるもので、たとえば、円周率πなどはその代表格である。

さて、それではじっさいに『プリンキピア』で変項（および定項）として用いられる記号＝文字を見ていく。以下がその一覧である。

• ふつうのアルファベット、つまりラテン文字の小文字(a, b, c, ...)のほとんどは、変項として用いられる（ただし、『プリンキピア』第40項以降においては、pとsは定項として用いられる）。
• ラテン文字の大文字のB, C, D, E, F, IそしてJは、定項として用いられる。
• ギリシア文字の小文字のうち、ε, ι, η, θそしてωが定項として用いられる（ただし、η, θそしてωに関しては、最初のうちは変項としても用いられる）。
• ギリシア文字の大文字は、定項としてしか用いられない。
• ラテン文字の小文字のうち、とくにp, qそしてrは命題変項と呼ばれ、さまざまな命題を表すために用いられる（ただし、上で注意したように、pは第40項以降は定項としてしか用いられない）。
• f, g, φ, ψ, χ, θおよびFは、函数変項と呼ばれ、さまざまな函数を表すのに用いられる（ただし、第33項以降は、Fが変項として用いられることはない）。
• 上記にとくに挙げられた以外のギリシア文字の小文字は、クラスを表す変項として用いられる。
• 上記にとくに挙げられた以外のラテン文字の大文字は、関係を表す変項として用いられる。
• 上記にとくに挙げられた以外のラテン文字の小文字は、とくに函数とも、クラスとも、そして関係とも限定されない「何か」を表すための変項として用いられる。

つまり、「変項」という観点から言えば、『プリンキピア』におけるそれは、大略以下の3つにまとめられる。

1. クラスを表すためのギリシア文字の小文字
2. 関係を表すためのラテン文字の大文字
3. とくにクラスにも関係にも限定されない「何か」を表すラテン文字の小文字

次回からはいよいよ、これらの変項および定項を用いつつ、『プリンキピア』語が定義されるさまを見ていこう。