(-1)x(-1)=1 [趣味の数学]

先日（というか、昨日）、とあるところで「マイナスにマイナスをかけるとなぜプラスになるか」ということが話題になった（というか、おれが一方的に話題にした）ので、息抜きがてら「(-1)x(-1)=1」をそうした「マイナスかけるマイナスはプラス」の代表例として、これが成り立つことを証明してみる。

まず、自然数における加法+および乗法*において、交換法則と結合法則が成り立つとする。つまり、

a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)


a*b=b*a
(a*b)*c=a*(b*c)

また、つぎのような分配法則も成り立つとする。

a*(b+c)=a*b+a*c

つぎに、加法および乗法に関して、

a+x=a
a*y=a

となるようなxとyを、それぞれ0と1、あるいはゼロ元と単位元と呼ぶ。このようなものは、もし存在するとすれば、それは一意、つまりただ1つしかない（このことの証明は演習問題とする）。

さらに、加法に関して、

a+x=0

となるxをaの逆元と呼び、とくに-aと表す。これにあわせて、移項と呼ばれる操作、つまり、a+b=0などからa=-bを導く操作を、天下り的に導入する（本来なら、これも証明が必要）。

また、代入、つまりa+b=aなどの式の、同じ文字、たとえばaを、ある数、たとえば1などに取り替え1+b=1などを得る操作も許されている、とする。

また、等式「=」間の次の性質も成り立つとする。

反射律: a=a
対称律: a=bであればb=a
推移律: a=bかつb=cであればa=c

さて、上で述べたようにa*1=aが成り立ち、さらにこれに対称律を適用して、

(1) a=a*1

も成り立つ。また、1にゼロ元を適用した結果1+0=1を上式に代入して、

(2) a*1=a*(1+0)

を得る。この式の右辺を、分配法則にしたがって展開すると、

(3) a*(1+0)=a*1+a*0

単位元の性質によりa*1=aなのでけっきょく

(4) a*1+a*0=a+a*0

を得る。ここで、式1から式4までに推移律を適用した結果a=a+a*0に対称律をさらに適用すると、

(5) a+a*0=a

となり、これはa*0がゼロ元に他ならないことを示す。つまり、

(6) a*0=0

つぎに、上式の左辺に1+(-1)=0を代入して

(7) a*0=a*{1+(-1)}

を得る。さらに、この右辺に分配法則を適用すると

(8) a*{1+(-1)}=a*1+a*(-1)

式6から式8に、対称律、推移律を適宜適用すると、

(9) 0=a+a*(-1)

上式右辺のaを左辺に移項して

(10) -a=a*(-1)

ところで、上で述べた逆元の定義により

(11) a+(-a)=0

これに式10を代入して

(12) a+{a*(-1)}=0

ここでaに-1を代入して

(13) -1+{(-1)*(-1)}=0

さらに、最左の-1を移行して、次式を得る。

(14) (-1)*(-1)=1

これが証明すべき式であった。Quod erat demonstrandum.

追記
上の証明の式13から式14を導く部分で、-1...=...を移行させて...=1...という変換を（直感的に認めうるであろうという理由で）やっているが、これは上の移行の定義にしたがえば-(-1)としかならず、証明すべき事柄を証明そのものに持ち込んでいる、とも言える。より厳密にはたとえば、式11の(-a)を移行して

(11') a=-(-a)

を得たあと、式10を代入して得られた結果

(12') a=-{a*(-1)}

と、式10のaにa*(-1)を代入した結果

(10') -{a*(-1)}=a*(-1)*(-1)

を推移律で結びつけ

(13') a=a*(-1)*(-1)

としたのち、aに1を代入して

(14') 1=1*(-1)*(-1)

この右辺に結合法則、および交換法則を適用し、

(15') 1={(-1)*(-1)}*1

としたうえで、単位元1の性質により

(16') {(-1)*(-1)}*1=(-1)*(-1)

で、これと式15'、および反射律により

(17') (-1)*(-1)=1

とするべきであった。

（ほんとうはあといくつか気になる点、つまり、本来であれば証明しなければならないのに何食わぬ顔で＝天下り的に導入してしまっている事柄があるが、そんなことを気にしはじめたら泥沼なので、不誠実と言われようが何だろうが、そういう点については指摘があるまでほおかむりしておく）

（というか、もうちょっとシンプルに証明できるような気もするんだが……って、いやいや、ほんとそんなことしてる暇はないんですって）