連続体仮説を反駁するために (2) 連続体仮説 [趣味の数学]

前回では、自然数も実数も「無限」ではあるが、実数の「無限」のほうが自然数の「無限」よりも大きいことを確認した。そして、「連続体仮説」とは「実数は自然数よりもどれぐらい大きいのか？」という問いへの解答の試みである、ということが言われたのだった。今回は、ごくかんたんに「連続体仮説の主張」を見よう。

まず、前回の復習と、あらたな用語の解説から話を始める。

前回では、自然数の「大きさ」、つまり集合論固有の言い回しで言えば「濃度」は \(\aleph_0\) と呼ばれ、そして、この \(\aleph_0\) という濃度を持つ「集まり」は「可算」と呼ばれるのだった。ひるがえって実数は、カントールの対角線論法で示されたとおり、自然数の濃度 \(\aleph_0\) よりも大きい。つまりは、可算ではない。こうした可算ではない集合のうち、その最小のものを \(\aleph_1\) と言う。

ところで、前回見たカントールの対角線論法では、その議論の範囲を[0,1]（数直線でのアナロジーで言えば、0と1のあいだの部分で、0も1も含むもの）に限り、そしてこの範囲ですらその濃度は \(\aleph_0\) を越えるのだった。そしてじっさいの実数は、こうした[0,1]のような集まりが「無限」に寄せ集まったものとも考えられる。つまり、実数とは「『無限』が無限に集まったもの」と言える。

さらに、中間の議論をややすっ飛ばすと、「『無限』が無限に集まったもの」とは、「自然数の無限の組み合わせ」とも言える。こうした「組み合わせ」は、集合論の言葉では「羃（べき）集合」と呼ばれ、そして、その「個数」は次の式で表される。

n個の要素からなる組み合わせの個数: \(2^n\)

「濃度」という「大きさ」を表す指標は、ある意味「考えられている集合に含まれる要素の個数」とアナロジカルに考えられ、そして、自然数の濃度は \(\aleph_0\) なのだから、実数の濃度は \(2^{\aleph_0}\) と表せそうであり、じじつ、げんみつにこのことが示せる（が、ここでその詳細は省く）。

「連続体仮説」とは、この実数濃度 \(2^{\aleph_0}\) が \(\aleph_1\) 、つまり可算でない集まりの濃度のうちの最小のものであることを主張する。

次回からはいよいよ、「本題」である「確率論的道具立てを用いた連続体仮説の検証」に入る。