『プリンキピア・マテマティカ』を読む (0.14) 主張と推論 [『プリンキピア・マテマティカ』を読む]

前回の「外延／内包」という区別につづいて、今回は『プリンキピア』の「主張」と「推論」という概念について見る。

■主張

「主張」という概念は、いっぱんでの用法と異ならず、「〜である」ということを、あるいは、もっとくだくだしく言えば、「〜であることは真である」ということを意味する。この「〜である（ことは真である）」という「主張」は、『プリンキピア』において縦棒(|)の右横に横棒(-)が突き出た"turnstile"と通例呼ばれる記号で表されるが、一般的なPC環境ではこの記号を表示できないので、ここでは"@"("assertion"の"a")で代用することとする。

さて、この「主張」という概念を導入することで、主張されている命題とそうではない命題の区別が明確となる。例として、p⊃qが主張されているとする。つまり、

• @(p⊃q)

この回で述べたように、ラテン小文字のとくにp、qそしてrは「命題変数」と呼ばれ、特定されていない任意の命題を表すのだった。ゆえに、上で主張されているp⊃qをメイン命題とすると、pとqは「サブ命題」と捉えられるが、ここで注意すべきは、@(p⊃q)の主張力はpおよびqには及ばない、ということである。つまり、「真である」と「主張」されているのはもっぱらp⊃qという「かたまり」だけであり、それに内蔵されるpおよびqの真偽については、何も主張されていない。

■推論

「推論」という概念も上の「主張」と同じく、いっぱんでの用法とはそれほど異ならず、いくつかの主張からあらたな主張を導く仮定を言う。たとえば、三段論法を例にとって言えば、これは、pという主張@pとp⊃qという主張@(p⊃q)からqという第3のあらたな主張@qを導くプロセス、つまりは推論、と言える。より形式的に言えば、ある証明の過程で@pと@(p⊃q)が現れていれば、その証明内の@pと@(p⊃q)が現れた位置以降のどこにでも@qをおける、ということである。「証明」（『プリンキピア』の言葉づかいに忠実に言えば「演繹deduction」）については、第1部「数理論理学」においてより詳しくふれられる。

次回は、『プリンキピア』読解における「最大の難関」のひとつと考えられる、「『プリンキピア』記法」について、ドット（.および:）の用法を中心に紹介する。